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cosx/sinx+cosx的不定积分 cosx/sinx-cosx的不定积分

来源： 最后更新：22-05-21 06:01:59

　　cosx/sinx+cosx的不定积分是：∫(sinxcosx)/(sinx+cosx)dx=(1/2)(-cosx+sinx)-[1/(2√2)]ln|csc(x+π/4)-cot(x+π/4)|+C。C为积分常数。

　　解答过程如下：

　　∫(sinxcosx)/(sinx+cosx)dx

　　=(1/2)∫(2sinxcosx)/(sinx+cosx)dx

　　=(1/2)∫[(1+2sinxcosx)-1]/(sinx+cosx)dx

　　=(1/2)∫(sin²x+2sinxcosx+cos²x)/(sinx+cosx)dx-(1/2)∫dx/(sinx+cosx)

　　=(1/2)∫(sinx+cosx)²/(sinx+cosx)dx-(1/2)∫dx/[√2sin(x+π/4)]

　　=(1/2)∫(sinx+cosx)dx-[1/(2√2)]∫csc(x+π/4)dx

　　=(1/2)(-cosx+sinx)-[1/(2√2)]ln|csc(x+π/4)-cot(x+π/4)|+C

　　记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x)。即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。

　　设G(x)是f(x)的另一个原函数，即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。

　　由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数）。

　　这表明G(x)与F(x)只差一个常数。因此,当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C+∞}。

标签: 不定积分  sinx  cosx  

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